Povod za tokratno potepanje po gozdovih matematičnih modelov možgan je bilo zadnjih nekaj minut odličnega predavanja Richarda Frackowiaka, na Sinapsini konferenci septembra letos v Ljubljani ¹. Optimizem o prenosu možgan v računalnik in njihovi simulaciji se mi je vendarle zdel malo pretiran.

Ideje o matematičnih modelih, ki naj bi opisovali realne sisteme v vseh podrobnostih, se pojavljajo nekako v ciklih. Običajno takšni cikli sovpadajo s prihodom kake nove tehnologije ali algoritma na področju numeričnega računanja. Trenutni hit so večjedrni in večprocesorski superračunalniki, ki so zmožni izjemno hitro procesirati paralelne strukture v matematičnih modelih.

Eksperimentiranje z matematičnimi modeli namreč poteka tako, da najprej postavimo sistem enačb, ki opisujejo relacije opazovanega realnega sistema, nato pa ta sistem enačb rešimo. Ker je analitična rešitev mogoča le v redkih primerih, za reševanje sistemov enačb v glavnem uporabljamo numerične postopke (simulacija), za kar pa potrebujemo ustrezno programsko opremo in dovolj zmogljiv računalnik. Če imamo matematični model procesa, ki je sestavljen iz več paralelnih in računsko neodvisnih podsistemov, je možno njegovo simulacijo na paralelnih suprerračunalnikih pohitriti za znaten celoštevilski faktor.

Znanstveniki na področju simuliranja bioloških sistemov trenutno najbolj izkoriščajo zmogljivosti superračunalnikov in simuliranje delovanja možgan - poleg sistemske biologije - nedvomno velja za najpomembnejši segment na tem področju. Trenutno se odvija kar nekaj projektov, ki poskušajo možgane sesalcev opisati z matematičnimi modeli in z njihovo simulacijo ugotoviti kako delujejo ^{2 3 4}. Predstavljeni modeli opisujejo možgane na različnih nivojih delovanja, od genske zasnove pa do elektrokemičnih lastnosti. Struktura možgan je zelo primerna za paralelno računanje, ker so sestavljeni iz nevronov, ki so sicer močno povezani med seboj, a jih je na večprocesorskih računalnikih vseeno mogoče vzporedno simulirati. Glede na zmogljivosti računalnikov, ki trenutno obstajajo, ⁵ lahko trdimo, da imamo na razpolago dovolj veliko računsko moč, da lahko simuliramo delovanje možganov sesalcev ² v razumno kratkem času glede na čas trajanja človeškega življenja. Odgovor na vprašanje glede izvedbe simulacije matematičnega modela možgan se torej glasi: “Yes, we can!”. Bolj omejujoč faktor je gradnja primerno velikih modelov. Postavitev takega modela pomeni najprej natančno preučiti literaturo, nato pa bolj ali manj ročno sestaviti model, oziroma vsaj osnovne gradnike modela, ki jih je nato treba združiti v novo celoto. Takšno delo torej zahteva izjemno veliko število ljudi in ur dela, saj imamo opravka s sistemom reda velikosti nekaj 100 000 enačb. Obstajajo sicer orodja, ki sestavljanje modelov lahko poenostavijo preko avtomatskega pregleda literature ⁶, a se izkaže, da ne delujejo idealno, ker je struktura človeškega jezika zapletena in to občasno zmede umetno inteligenco orodja. Na koncu je tako še vedno nujno, da ročno preverimo celotno strukturo, šele tedaj smo namreč lahko gotovi, da pri pretvorbi iz tekstovnih opisov v strukturo modela ni prišlo do napak. Do neke mere tudi tu lahko pritrdimo tezi, da je model možgan mogoče zgraditi do določenega nivoja podrobnosti, kar so že dokazali ^{2 3}. Zadnje čase razburja znanstveno javnost projekt “Human Brain” ⁴, tako zaradi svoje obsežnosti kot tudi zaradi pridobljenih sredstev. Glavni cilj projekta je izdelati orodje, ki bo na osnovi literaturnih podatkov in meritev avtomatsko generiralo model možgan.

Kaj pa smiselnost takšnega početja? Kaj lahko pričakujemo od takšnih modelov? Matematično modeliranje skriva v sebi veliko pasti. Najbolj nevarna past je relacija med matematičnim in realnim svetom. Oboje obvladujejo pravila ali zakoni, le da niso enaki. Medtem ko so aksiomi matematike točno definirani, se z odkrivanjem zakonitosti, ki veljajo za svet okoli nas, še mučimo. Preslikava sistema iz realnega v matematični svet torej ne more biti popolna, ker se zaradi različnih zakonitosti obeh svetov določene podrobnosti originalnega sveta izgubijo in nadomestijo z lastnostmi sveta, v katerega smo ga preslikali. Matematični model torej nikoli ne more opisati realnega sveta v vseh njegovih podrobnostih. To je eden izmed razlogov, zakaj se uporaba matematičnih modelov tako bistveno razlikuje od uporabe fizičnih modelov realnega sveta. Pri fizičnih modelih gre večinoma za modele, ki so sicer poenostavljene ali pomanjšane verzije realnega sistema, ker pa imajo ponavadi za osnovo isto materijo, ohranjajo osnovne lastnosti realnega sistema do najmanjše podrobnosti. Matematični modeli pa imajo v osnovi popolnoma drugačne lastnosti od tistih v realnem sistemu, le v posebnih lastnostih so podobni realnim sistemom, a samo do te mere, da zadovoljivo opišejo preučevane lastnosti realnega sistema. Problem nastane takrat, ko matematični model uporabimo za pojasnjevanje pojavov, za katere ta ni bil razvit. V tem primeru poskušamo razlagati pojave realnega sveta na osnovi lastnosti modela, ki so vezane izključno na matematični svet. Za vsak model moramo torej dobro vedeti, kje so meje njegove uporabe, ki pa izhajajo iz postopkov, ki smo jih uporabili pri njegovi gradnji. Pri avtomatsko grajenih matematičnih modelih, ki so tako zapleteni, da njihovega delovanja ne razumemo, je torej potrebno eksperimentalno identificirati lastnosti modela. Pri tem pa ne moremo razlikovati med lastnostmi, ki izhajajo iz realnega sveta in lastnostmi, ki so posledica matematičnih zakonitosti. Previdnost pri uporabi takšnih modelov za napovedovanje delovanja realnih sistemov je torej na mestu. Vsak, ki je razvijal matematične modele, se je kdaj ujel v to past, ki pa je očitna samo pri dovolj enostavnih modelih, kjer takoj vidimo, da so rezultati simulacije modela v določenih pogojih nesmiselni.

Kako takšna past deluje, lahko pojasnimo na primeru vremenskega modela. Edward Norton Lorenz je v prejšnjem stoletju ugotovil, da obstajajo matematični modeli, ki se zelo nenavadno vedejo. Število decimalnih mest pri ročnem vnosu podatkov v digitalni računalnik, ki ga je Lorenz uporabljal, je bilo večje od števila decimalnih mest podatka, ki ga je lahko shranil v spominsko enoto. Lorenz je po naključju opazil, da je pri simulaciji v primeru, ko je uporabil shranjene začetne vrednosti modela, dobil drugačne rezulate kot če je le-te vnesel ročno. Razlika pa ni bila tako majhna, da bi jo lahko zanemaril. Ker je sumil, da je prišlo do napake v zelo nezanesljivi elektroniki tistega časa, je najprej pregledal računalnik. Ker to ni prineslo rezultatov, je posumil, da je napaka v modelu. Ker pa napake nikakor ni uspel najti, je model poenostavil do sistema treh nelinearnih diferencialnih enačb prvega reda. A očitna razlika pri rezultatih simulacije je še vedno ostala. Tako je odkril eno od temeljnih lastnosti kaotičnih sistemov, imenovano občutljivost na začetne pogoje. Vpliv začetnih pogojev na razvoj dogajanja v Lorenzovem sistemu si lahko ogledate v animaciji ⁷. Vsaka najmanjša razlika v vrednostih, s katerimi realni sistem in matematični model začneta delovati, lahko po razmeroma kratkem času delovanja vodi v povsem drugačno kvaliteto delovanja obeh sistemov, kar je pri napovedovanju vremena zelo očitno. Šum ali numerične napake so torej za kaotične sisteme dovolj velika motnja, da pomembno spremenijo obnašanje sistema. Nelinearne metode analize električne aktivnosti možgan (EEG, MEG) dajo slutiti, da imajo možgani, podobno kot vreme, kaotične lastnosti delovanja. To z drugimi besedami pomeni, da popolna preslikava možgan z vsemi lastnostmi nevronov, povezav med njimi, itd. v matematični model ne bo dovolj, da bi simulacija le-tega dala enake rezultate, kot jih opažamo pri delovanju realnih možgan. Kakšna je torej lahko korist od razvoja zapletenih modelov možgan, če vnaprej vemo, da se ne bodo obašali enako kot pravi? Morda bomo dobili odgovor na vprašanje, kako občutljiva je možganska struktura na razlike v različni kvantizaciji realnega sveta in digitalnega računalnika. Problem vrednotenja primerjave simulacije in realnega sistema pri tem ne bo zanemarljiv, saj je možnost, da izmerimo vrednosti stanj na delujočih možganih razmeroma omejena. Razlike bodo morda celo tako velike, da bodo izginile nekatere funkcije delovanja možgan in se pojavile nove, ali pa sploh ne bo prišlo do vzpostavitve višjih funkcij. Zoprno pri vsem bo le-to, da na koncu ne bomo vedeli, ali se skriva v (ne)natančnosti simulacije ali v še vedno preveč poenostavljenih lastnostih modela.

Z zapletenostjo matematičnega modela torej ne raste nujno tudi kvaliteta vpogleda v realni sistem. V tako obsežnih modelih kot so modeli možgan, na koncu pravzaprav mehanizmov, ki privedejo do lastnosti kot so samopovezljivost, plastičnost, ali celo zavedanje, ne razumemo nič bolje kot z enostavnimi modeli. V postopku teoretičnega modeliranja je na koncu vedno potrebno model poenostaviti do te mere, da ga lahko razumemo in s tem tudi ovrednotimo glede na realni sistem, kar je možno le takrat, ko imamo pred seboj točno določen cilj raziskave. Modeliranje za dosego nekega splošnega cilja le redko daje dobre rezultate. Bistvo eksperimentiranja na matematičnih modelih je torej v njihovem poenostavljanju do skrajne meje, ko v modelu ostanejo samo še glavni mehanizmi delovanja. Tako lahko dobimo za isti sistem več različnih modelov; za vsak namen svojega. Na bioloških modelih lahko za identificiranje mehanizmov delovanja samo izvajamo eksperimente, medtem ko zgradbe sistema med poskusom ne moremo spreminjati. Vaje s tako ogromnimi modeli kot naj bi izšli iz projekta “Human Brain” se običajno končajo na točki, ko raziskovalci ugotovijo, da je model s stališča razumevanja postal neobvladljiv in ga zato ne morejo več ovrednotiti. Vrednosti vsesplošnih modelov možgan so torej precej manjše kot pa je vrednost vanje vloženega dela in denarja, ker postanejo gozd, v katerem dreves ne vidimo več. Zanimivo je tudi to, da na spletu najdemo veliko populističnih objav o začetkih tovrstnih projektov, v znansteni literaturi pa potem nikakor ne najdemo objavljenih rezultatov.